Voici un petit problème physico-mathématique que j’ai trouvé très intéressant.
L’énoncé est très simple :
Une voiture se déplace d’un point A à un point B à la vitesse constante de 10 km/h.
À quelle vitesse (toujours constante) doit-elle rouler, en revenant du point B jusqu’au point A, pour que sa vitesse moyenne soit de 22 km/h ?
Photo de Ian Britton, obtenue de www.freefoto.com.
Avant de continuer de lire, essayez de trouver la réponse !
Première solution
Vous avez peut-être obtenu comme réponse 34 km/h, sans être franchement convaincu de la justesse du résultat ?
En faisant une simple moyenne arithmétique, on obtient effectivement 34 km/h.
$$v_{moyenne} = \frac{v_{aller} + v_{retour}}{2}$$
$$v_{moyenne} = \frac{v_{aller} + v_{retour}}{2}$$
$$v_{retour} = 2\cdot v_{moyenne}-v_{aller} = 2\cdot 22-10=34\, km/h$$
Le problème avec cette solution est qu’elle ne tient pas compte du temps. Si la voiture avait roulé autant de temps à 10 km/h qu’à 34 km/h, sa moyenne serait effectivement 22 km/h.
Mais, en roulant à 10 km/h le long de la distance AB, elle va passer plus de temps à cette vitesse qu’en revenant depuis le point B.
Deuxième solution
Dès lors, il faut réécrite notre équation en tenant compte du temps. Pour ce faire, rappelons la formule de base pour le calcul d’une vitesse :
$$vitesse = \frac{distance}{temps}$$
Dès lors, le temps pour parcourir une distance se calcule ainsi :
$$temps = \frac{distance}{vitesse}$$
Soient et les vitesses d’aller et de retour et la distance entre le point A et le point B.
Soit le temps passé pour aller du point A au point B :
$$t_{aller} = \frac{AB}{v_{aller}}$$
Soit le temps passé pour aller du point B au point A :
$$t_{retour} = \frac{AB}{v_{retour}}$$
$$v_{moyenne} = \frac{distance\,totale}{temps\,total} = \frac{2\cdot AB}{t_{aller} + t_{retour}}=\frac{2\cdot AB}{\frac{AB}{v_{aller}}+\frac{AB}{v_{retour}}}$$
$$v_{moyenne} = \frac{2\cdot AB}{\frac{AB\cdot v_{retour}}{v_{aller}\cdot v_{retour}}+\frac{AB\cdot v_{aller}}{v_{retour}\cdot v_{aller}}}=\frac{2\cdot AB\cdot v_{aller}\cdot v_{retour}}{AB\cdot (v_{aller}+v_{retour})}=2\cdot\frac{v_{aller}\cdot v_{retour}}{v_{aller}+v_{retour}}$$
À partir de cette dernière formule, retrouvons celle permettant de calculer la vitesse retour :
$$v_{moyenne}\cdot v_{aller} + v_{moyenne}\cdot v_{retour} = 2\cdot v_{aller}\cdot v_{retour}$$
$$v_{moyenne}\cdot v_{retour} – 2\cdot v_{aller}\cdot v_{retour} = -v_{moyenne}\cdot v_{aller}$$
$$v_{retour} (v_{moyenne} – 2 v_{aller}) = -v_{moyenne}\cdot v_{aller}$$
$$v_{retour}=-\frac{v_{moyenne}\cdot v_{aller}}{v_{moyenne} – 2 v_{aller}}$$
Il ne nous reste plus qu’à résoudre la formule avec des valeurs numériques :
$$v_{retour}=-\frac{22\cdot 10}{22 – 2\cdot 10}=-\frac{220}{2}=-110\,km/h$$
Voilà un résultat pour le moins surprenant ! Est-ce qu’il indique une erreur ? Vérifions notre calcul :
$$v_{moyenne} =2\cdot\frac{v_{aller}\cdot v_{retour}}{v_{aller}+v_{retour}}=2\cdot\frac{10\cdot -110}{10+(-110)}=\frac{-2200}{-100}=22\,km/h$$
Il faut se rendre à l’évidence : notre calcul est mathématiquement parfaitement juste ! Par contre, il est physiquement irréalisable !
Explication
Cela peut être expliqué de la façon suivante : si à l’aller, notre vitesse moyenne est de 10 km/h, cela signifie qu’en une heure, nous avons parcouru 10 kilomètres. Si nous avions la possibilité de revenir instantanément à notre point de départ, nous aurions alors parcouru, en une heure, 20 kilomètres (l’aller-retour), ce qui donne une vitesse moyenne de 20 km/h.
En clair, il est impossible de faire plus que doubler sa vitesse moyenne.
Pour illustrer cela différement, dessinons la courbe de notre fonction :
On voit que la courbe pour une vitesse de retour positive tend vers 20 km/h.
Ceci peut être également démontré au moyen des limites.
$$v_{moyenne} =2\cdot\frac{v_{aller}\cdot v_{retour}}{v_{aller}+v_{retour}}$$
Si l’on note v pour la vitesse de retour :
$$\lim\limits_{v \to \infty} 2\cdot\frac{v_{aller}\cdot v}{v_{aller}+v}=2\cdot v_{aller}$$
La limite confirme donc ce que l’on a vu plus haut.
Conclusion
Nous avons vu lors de la première solution que la moyenne arithmétique n’est pas adaptée à ce genre de problème.
Dans notre situation, c’est la moyenne harmonique qu’il faut utiliser.
À noter que si vous avez des notions de base d’électrotechnique et plus particulièrement de calculs de circuits de résistances, vous avez déjà utilisé, peut-être sans le savoir, la moyenne harmonique pour calculer un couplage parallèle de résistances.
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